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Para ir a:
jueves, 18 de noviembre de 2010
Criptografia con matrices, usando derive
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Videos de la clase de criptografia con matricez
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Para ir a:
sábado, 13 de noviembre de 2010
martes, 26 de octubre de 2010
MATRICES
MATRICES
Definición:
En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con mfilas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma
La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
Video que enseña el tema de matrices:
Suma y restas de matrices:
TIPOS DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ...,dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz n m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
SUMA Y RESTA DE MATRICES
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
Ejemplo:
PRODUCTO DE MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante será de orden 2 5.
(2 3) (3 5) = (2 5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
3 5 por 2 3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas deB; es decir, A es una matriz m p y B una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.
Esto es,
Ejemplo:
1.
2.
•Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
Entonces:
DIVISIÓN DE MATRICES
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
Ejemplo:
MATRICES INVERTIBLES
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra
MÉTODO DE GAUSS
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I),
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).
A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
Comprobación:
AA-1 = I
EJERCICIOS CON MATRICES
Sean
a) ¿Qué clase de matrices son?
b) Calcular:
- A - B + C.
A + B - C.
3A + C/2.
c) Calcular:
(A • B) /C.
d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.
Resolución:
a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.
b)
c) Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.
• Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
• Por lo tanto, la matriz inversa de C es:
• A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,
• Por último, calculamos (AB)C-1.
=
• Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:
d) Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
• Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
.
Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
.
• Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
• Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir
AA-1 = I.
Procedamos a la comprobación:
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene la solución única
x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Ejercicio:
Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.
x = -9 - y + 10t
z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t).
Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema
x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.
b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación
0x + 0y + 0z + 0t = -5
Obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.
Video que muestra determinantes de las matrices:
Video 2 de los determinantes de las matrices:
Video que muestra la matriz inversa:
Video 2:
Definición:
En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con mfilas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma
La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
Video que enseña el tema de matrices:
Suma y restas de matrices:
TIPOS DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ...,dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz n m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
SUMA Y RESTA DE MATRICES
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
Ejemplo:
PRODUCTO DE MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante será de orden 2 5.
(2 3) (3 5) = (2 5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
3 5 por 2 3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas deB; es decir, A es una matriz m p y B una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.
Esto es,
Ejemplo:
1.
2.
•Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
Entonces:
DIVISIÓN DE MATRICES
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
Ejemplo:
MATRICES INVERTIBLES
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra
MÉTODO DE GAUSS
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I),
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).
A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
Comprobación:
AA-1 = I
EJERCICIOS CON MATRICES
Sean
a) ¿Qué clase de matrices son?
b) Calcular:
- A - B + C.
A + B - C.
3A + C/2.
c) Calcular:
(A • B) /C.
d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.
Resolución:
a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.
b)
c) Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.
• Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
• Por lo tanto, la matriz inversa de C es:
• A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,
• Por último, calculamos (AB)C-1.
=
• Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:
d) Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
• Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
.
Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
.
• Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
• Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir
AA-1 = I.
Procedamos a la comprobación:
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene la solución única
x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Ejercicio:
Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.
x = -9 - y + 10t
z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t).
Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema
x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.
b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación
0x + 0y + 0z + 0t = -5
Obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.
Video que muestra determinantes de las matrices:
Video 2 de los determinantes de las matrices:
Video que muestra la matriz inversa:
Video 2:
Para ir a:
CRIPTOGRAFIA
CRIPTOGRAFIA:
Definición de la Criptografía:
La criptografía es la técnica que protege documentos y datos. Funciona a través de la utilización de cifras o códigos para escribir algo secreto en documentos y datos confidenciales que circulan en redes locales o en internet. Su utilización es tan antigua como la escritura. Los romanos usaban códigos para ocultar sus proyectos de guerra de aquellos que no debían conocerlos, con el fin de que sólo las personas que conocían el significado de estos códigos descifren el mensaje oculto.
A partir de la evolución de las computadoras, la criptografía fue ampliamente divulgada, empleada y modificada, y se constituyó luego con algoritmos matemáticos. Además de mantener la seguridad del usuario, la criptografía preserva la integridad de la web, la autenticación del usuario así como también la del remitente, el destinatario y de la actualidad del mensaje o del acceso.
Las llaves pueden ser:
Simétricas: Es la utilización de determinados algoritmos para descifrar y encriptar (ocultar) documentos. Son grupos de algoritmos distintos que se relacionan unos con otros para mantener la conexión confidencial de la información.
Asimétrica: Es una fórmula matemática que utiliza dos llaves, una pública y la otra privada. La llave pública es aquella a la que cualquier persona puede tener acceso, mientras que la llave privada es aquella que sólo la persona que la recibe es capaz de descifrar.
Video que muestra sobre criptografía:
Doce videos sobre criptografía:
Criptografía con matrices:
Criptografía
Un "criptograma" es un mensaje escrito en código secreto. Deriva de la palabra griega Kryptos que significa oculto. Actualmente la criptografía ha cobrado un auge inusitado debido a la necesidad de preservar la seguridad en Internet y las transacciones que se hacen por la red.
Nosotros vamos a aplicar lo aprendido en el trabajo con matrices en este caso para practicar un método muy simple, pero efectivo, para codificar y decodificar mensajes. Ten en cuenta que siempre que transmitimos un mensaje cifrado, la persona que lo recibe tiene que tener los mecanismos oportunos para descifrarlo.
Para poner en práctica nuestro método vamos a necesitar una tabla en la que haremos corresponder un número a cada letra del abecedario y también necesitamos una matriz de orden n que sea invertible.
Veamos el proceso
Empezamos construyendo la tabla en la que hacemos corresponder un nº a cada letra (no incluimos ningún signo ni símbolo).
La haremos lo más simple posible (aunque tú puedes decidir su grado de complicación).
A=1 H=8 Ñ=15 U=22
B=2 I=9 O=16 V=23
C=3 J=10 P=17 W=24
D=4 K=11 Q=18 X=25
E=5 L=12 R=19 Y=26
F=6 M=13 S=20 Z=27
G=7 N=14 T=21 SPACE=28
Luego escribimos el mensaje sin codificar dividiéndolo en matrices filas de n elementos.
Veamos un ejemplo de mensaje
"LO MEJOR PARA JUANMA"
Traducido a números sin codificar:
12,16,0,13,5,10,16,19,0,17,1,19,1,0,10,22,1,14,13,1,0
Ahora voy a tomar n=3 y por lo tanto separo el código anterior en matrices filas de 1x3
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
Fíjate que he añadido un espacio al final para que me saliese una matriz de 1x3
Ahora tengo que buscar una matriz invertible de orden 3, esto
es fácil de hacer con la calculadora ya que te puedes inventar una matriz A
de orden 3 y comprobar si tiene inversa con la orden A-1
Ya tengo la matriz invertible A.
Ahora vamos multiplicando cada matriz fila 1x3 obtenida anteriormente por A (por la izquierda)
con lo que obtengo matrices 1x3 x 3x3 -> 1x3
Con lo que obtengo una nueva secuencia de matrices 1x3
[72,-4,80] [41,38,122] [89,-3,102] [37,73,184] [2,31,64] [47,63,174] [29,12,54]
Que expresados en forma de lista de números queda:
72,-4,80,41,38,122,89,-3,102,37,73,184,2,31,64,47,63,174,29,12,54
Para alguien que no tenga la matriz A en su poder esta
lista se puede convertir en un galimatías sin sentido
Pero veamos ahora el proceso para descifrar el mensaje
si somos poseedores de la tabla de equivalencias entre letras
y números y de la matriz A
Miremos la primera matriz que multipliqué por A:
[12 16 0] . A = [72 -4 80]
Multipliquemos por A-1 (la inversa de A) por la derecha
[12 16 0] . A . A-1= [72 -4 80] . A-1
[12 16 0] . I = [72 -4 80] . A-1
[12 16 0] = [72 -4 80] . A-1
( I es la matriz Identidad )
Por lo tanto si multiplico la matriz cifrada por A-1 obtengo la matriz original
que puedo consultar en la tabla y descifrar directamente.
¡¡¡ Cuidado a la hora de multiplicar si lo haces por la derecha o la izquierda !!!
Recuerda que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
(aunque ocasionalmente puedes encontrar dos matrices que si cumplan que A.B = B.A)
Recopilemos:
Así que si tengo la tabla del principio y la matriz A y recibo un mensaje como el siguiente:
72,-4,80,41,38,122,89,-3,102,37,73,184,2,31,64,47,63,174,29,12,54
Lo primero que hago es mirar el orden de A y separo la lista en matrices filas
de orden 1 x n siendo n el orden de A.
Después voy multiplicando las matrices filas obtenidas por la inversa de A.
( las matrices filas multiplican por la izquierda a A-1 )
Después recompongo en orden los resultados obtenidos de los anteriores productos
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
12,16,0,13,5,10,16,19,0,17,1,19,1,0,10,22,1,14,13,1,0
y ya no nos queda nada más que consultar en la tabla de equivalencias.
El proceso que hemos descrito es sumamente sencillo,
pero a quien no posea la tabla de equivalencias y la matriz A
le resultará muy difícil descifrar nuestros mensajes.
¡ 44,14,86,74,-3,84 !
Definición de la Criptografía:
La criptografía es la técnica que protege documentos y datos. Funciona a través de la utilización de cifras o códigos para escribir algo secreto en documentos y datos confidenciales que circulan en redes locales o en internet. Su utilización es tan antigua como la escritura. Los romanos usaban códigos para ocultar sus proyectos de guerra de aquellos que no debían conocerlos, con el fin de que sólo las personas que conocían el significado de estos códigos descifren el mensaje oculto.
A partir de la evolución de las computadoras, la criptografía fue ampliamente divulgada, empleada y modificada, y se constituyó luego con algoritmos matemáticos. Además de mantener la seguridad del usuario, la criptografía preserva la integridad de la web, la autenticación del usuario así como también la del remitente, el destinatario y de la actualidad del mensaje o del acceso.
Las llaves pueden ser:
Simétricas: Es la utilización de determinados algoritmos para descifrar y encriptar (ocultar) documentos. Son grupos de algoritmos distintos que se relacionan unos con otros para mantener la conexión confidencial de la información.
Asimétrica: Es una fórmula matemática que utiliza dos llaves, una pública y la otra privada. La llave pública es aquella a la que cualquier persona puede tener acceso, mientras que la llave privada es aquella que sólo la persona que la recibe es capaz de descifrar.
Video que muestra sobre criptografía:
Doce videos sobre criptografía:
Criptografía con matrices:
Criptografía
Un "criptograma" es un mensaje escrito en código secreto. Deriva de la palabra griega Kryptos que significa oculto. Actualmente la criptografía ha cobrado un auge inusitado debido a la necesidad de preservar la seguridad en Internet y las transacciones que se hacen por la red.
Nosotros vamos a aplicar lo aprendido en el trabajo con matrices en este caso para practicar un método muy simple, pero efectivo, para codificar y decodificar mensajes. Ten en cuenta que siempre que transmitimos un mensaje cifrado, la persona que lo recibe tiene que tener los mecanismos oportunos para descifrarlo.
Para poner en práctica nuestro método vamos a necesitar una tabla en la que haremos corresponder un número a cada letra del abecedario y también necesitamos una matriz de orden n que sea invertible.
Veamos el proceso
Empezamos construyendo la tabla en la que hacemos corresponder un nº a cada letra (no incluimos ningún signo ni símbolo).
La haremos lo más simple posible (aunque tú puedes decidir su grado de complicación).
A=1 H=8 Ñ=15 U=22
B=2 I=9 O=16 V=23
C=3 J=10 P=17 W=24
D=4 K=11 Q=18 X=25
E=5 L=12 R=19 Y=26
F=6 M=13 S=20 Z=27
G=7 N=14 T=21 SPACE=28
Luego escribimos el mensaje sin codificar dividiéndolo en matrices filas de n elementos.
Veamos un ejemplo de mensaje
"LO MEJOR PARA JUANMA"
Traducido a números sin codificar:
12,16,0,13,5,10,16,19,0,17,1,19,1,0,10,22,1,14,13,1,0
Ahora voy a tomar n=3 y por lo tanto separo el código anterior en matrices filas de 1x3
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
Fíjate que he añadido un espacio al final para que me saliese una matriz de 1x3
Ahora tengo que buscar una matriz invertible de orden 3, esto
es fácil de hacer con la calculadora ya que te puedes inventar una matriz A
de orden 3 y comprobar si tiene inversa con la orden A-1
Ya tengo la matriz invertible A.
Ahora vamos multiplicando cada matriz fila 1x3 obtenida anteriormente por A (por la izquierda)
con lo que obtengo matrices 1x3 x 3x3 -> 1x3
Con lo que obtengo una nueva secuencia de matrices 1x3
[72,-4,80] [41,38,122] [89,-3,102] [37,73,184] [2,31,64] [47,63,174] [29,12,54]
Que expresados en forma de lista de números queda:
72,-4,80,41,38,122,89,-3,102,37,73,184,2,31,64,47,63,174,29,12,54
Para alguien que no tenga la matriz A en su poder esta
lista se puede convertir en un galimatías sin sentido
Pero veamos ahora el proceso para descifrar el mensaje
si somos poseedores de la tabla de equivalencias entre letras
y números y de la matriz A
Miremos la primera matriz que multipliqué por A:
[12 16 0] . A = [72 -4 80]
Multipliquemos por A-1 (la inversa de A) por la derecha
[12 16 0] . A . A-1= [72 -4 80] . A-1
[12 16 0] . I = [72 -4 80] . A-1
[12 16 0] = [72 -4 80] . A-1
( I es la matriz Identidad )
Por lo tanto si multiplico la matriz cifrada por A-1 obtengo la matriz original
que puedo consultar en la tabla y descifrar directamente.
¡¡¡ Cuidado a la hora de multiplicar si lo haces por la derecha o la izquierda !!!
Recuerda que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
(aunque ocasionalmente puedes encontrar dos matrices que si cumplan que A.B = B.A)
Recopilemos:
Así que si tengo la tabla del principio y la matriz A y recibo un mensaje como el siguiente:
72,-4,80,41,38,122,89,-3,102,37,73,184,2,31,64,47,63,174,29,12,54
Lo primero que hago es mirar el orden de A y separo la lista en matrices filas
de orden 1 x n siendo n el orden de A.
Después voy multiplicando las matrices filas obtenidas por la inversa de A.
( las matrices filas multiplican por la izquierda a A-1 )
Después recompongo en orden los resultados obtenidos de los anteriores productos
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
12,16,0,13,5,10,16,19,0,17,1,19,1,0,10,22,1,14,13,1,0
y ya no nos queda nada más que consultar en la tabla de equivalencias.
El proceso que hemos descrito es sumamente sencillo,
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le resultará muy difícil descifrar nuestros mensajes.
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BLOG REALIZADO POR: Néstor Calderon
Oscar Armando Belalcazar
Criptografía con matrices
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http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
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